בנם של אסתר ויעקב. נולד ביום י"ט באלול תש"ב (1.9.1942) בירושלים. אח של מישאל, מרגלית, רחל, יחזקאל ויוסף.

רחמים (רמי) נקרא כך כיוון שנולד בחודש אלול, חודש הרחמים והסליחות.

הוא גדל והתחנך בירושלים, למד בבית ספר ממלכתי-דתי והמשיך ללימודים בישיבה תיכונית בעיר. נער שובב ומלא קסם, הִרבה לבלות בבית הקולנוע עם חבריו.

בהיותו בן עשר נפטר אבי המשפחה. נוכח האובדן נרתמו אֶחיו הגדולים לעזור בגידולו, כך התחזקו קשריהם והם שימשו לו כעוגן, מסייעים ותומכים.

חרוץ ועצמאי, כבר בנעוריו גילה אחריות כלפיי משפחתו וסייע בכלכלת הבית ובמימון לימודיו בישיבה באמצעות מכירת ענפי ערבה יחד עם אחיו.

בסיום לימודיו התיכוניים החל לעבוד בדואר ישראל עד מועד גיוסו לצה"ל.

בהגיעו לגיל גיוס, שובץ לשירות בחיל רגלים. מסור ומקצועי, מילא תפקידו נאמנה. אופיו הנעים סייע לו ביצירת קשרים חברתיים טובים עם חבריו ליחידה והוא היה אהוד עליהם.

בתום שחרורו משירות חובה המשיך בשירות מילואים פעיל, במסגרתו לחם במלחמת ששת הימים ביוני 1967 ובמלחמת יום הכיפורים באוקטובר 1973.

לאחר השחרור מצה"ל חזר לעבוד זמן מה בדואר ישראל, וכשעזב החל ללמוד הנהלת חשבונות, חדור מוטיבציה לרכוש לעצמו מקצוע. בתום הלימודים, התקבל לעבודה בבנק הפועלים. שאפתנותו, יכולותיו המעולות ומוחו הריאלי סייעו לו לבצע את תפקידו בצורה המיטבית, עד מהרה התקדם בסולם התפקידים ומונה לתפקיד מנהל סניף בהיותו בן עשרים וחמש שנים בלבד.

במקביל לבניית קריירה בבנק, הקים זוגיות אוהבת עם אילנה. השניים הכירו באמצעות שידוך שערך מישאל אחיו. סיפרה אילנה: "מישאל ראה אותי עם אחותי ואמר לי שהוא רוצה להכיר לי מישהו. הגעתי אליו לבנק, ואולם רחמים לא התייחס אליי תחילה. הראש שלו היה מכוון לעבודה, אך עד מהרה הפכנו לזוג". השניים נישאו ב-1968 במתחם "האוניברסיטה העברית" בירושלים והקימו את ביתם בעיר. היה בן זוג אוהב ומפנק, מתחשב מאוד, חלק קשריו קרובים עם משפחתה של אילנה, נהנה לשחק עם אביה שש-בש ולשוחח עימו ארוכות.

במרוצת השנים נולדו לזוג ארבעה ילדים - מירב, מיכל, דקלה וקובי. בלט כאב מסור, נוכח ומעורב בחיי המשפחה. "רחמים היה מאוד ביתי ואהב את הפינה שלו. אב טוב, חלק קשר קרוב וחברי עם הילדים. ראה חשיבות גדולה ברכישת השכלה שתבטיח את עתידם" סיפרה רעייתו אילנה. דאג לרווחת בני המשפחה, יזם ופעל על מנת שירוו נחת ושלא יחסר להם דבר. חינך אותם לערכים וליוזמה, סוחף ונמרץ בהתנהלותו.

בהמשך דרכו המקצועית החליט לשנות כיוון, עזב את עבודתו בבנק והתגייס למשטרת ישראל. לאחר שעבר הכשרות מתאימות וסיים בהצלחה קורס קצינים החל לשרת כחוקר במשטרת ירושלים. נחוש ומלא מוטיבציה, הצליח עד מאוד בביצוע המשימות שהוטלו עליו. נבון וחד, ניחן בזיכרון מצוין וביכולת לתקשר עם אנשים בגובה העיניים.

אופיו הנעים וכישוריו המקצועיים, כמו גם שאפתנותו ורצונו להתקדם ולממש את יכולותיו הובילו אותו לאחר זמן מה לעזוב את המשטרה ולהצטרף לשורות שירות הביטחון הכללי (השב"כ), שם ביצע מגוון תפקידים הקשורים בתחום הכספים. במשך שנים נסע עם שומר ראש לשטחי יהודה ושומרון לצורך מילוי תפקידו. עבד בשב"כ עד לפרישתו מהשירות בדרגת רע"ן (ראש ענף).

במהלך שירותו לקה בלבו, נאלץ לעבור ניתוחים ובגופו הושתל קוצב לב. עם השנים מצבו הבריאותי הידרדר והוא נזקק לטיפולים נוספים, אותם עבר נתמך במשפחתו האוהבת. גישתו האופטימית וחוש ההומור המשובח שלו סייעו לו בהתמודדותו עם מצבו הרפואי, נחוש היה להמשיך ולקיים את שגרת חייו במלואה, לשמוח וליהנות עם אהוביו. סיפרה אילנה: "רחמים אהב את החיים, צחק ושימש מסמר האירוע בכל מקום אליו הגיע. ניחן בחוש הומור מיוחד, כך למשל כשהגיע להתפלל בבית הכנסת על אף הקושי שחווה, נהג לומר כי הוא חי על בטריות".

בזמנו הפנוי נהנה מצפייה במשחקי כדורגל ומטיולים בטבע עם בני משפחתו המורחבת. הם נהגו לנסוע יחד לטיולי אוהלים וסיפרו בחיוך כי "באמצע הדרך נהג לעצור כדי לעשות שכיבות סמיכה".

רחמים זכה לחתן את כל ילדיו ולראות עשרה נכדים, נהנה לבלות ולשחק עימם.

רחמים (רמי) מזרחי נפטר ביום ד' באייר תשע"ז (30.4.2017). בן שבעים וארבע שנים וחצי בפטירתו. הובא למנוחות בבית העלמין בגבעת שאול בירושלים. הותיר אחריו אישה, שלוש בנות, בן, נכדים, אחים ואחיות.

על מצבתו כתבו אוהביו: ""חדוות החיים, הנתינה והאהבה שלך יישארו בלבנו לעד".